Ну, я постараюсь, хотя в этой теме далеко не знаток. Про альтернативные реальности пока ничего не слышал, думаю это очередная идея из области научной фантастики (хотя будет приятно, если кто-то подтвердит обратное)).
Что касается самого тессеракта, то, как я понял, это просто четырехмерная аналогия нашего привычного куба. Для обычного куба все грани (перпендикулярные) имеют одинаковую длинну. Если это описывать математически, то можно сказать, что прямоугольные координаты x, y, z могут принимать одинаковые (чтобы обеспечить одинаковую длинну) значения от -a до a (в статье от "-1" до "+1", в принципе, правильно и то и то). Например точка x=1, y=1, z=1 будет одной из вершин куба, а точка x=0, y=0, z=0 будет самой его сердцевиной. Вот таким множеством значений x, y, z описывается наш трехмерный куб. А дальше все делается по аналогии: Добавляется четвертая прямоугольная ось (пытаться ее представить очень сложно, да и не надо - ее просто добавляют формально) и ей даются те-же значения, что и предыдущим трем (в статье это описывается с помощью самой первой строчки с формулами). Конечно, из-за того, что добавилась одна новая ось, свойства куба меняются, да и он уже становиться и не кубом вовсе). Для каждого значения на новой оси будет отсекаться свой трехмерный кубик, аналогично тому, как резав под прямым углом трехмерный кубик получаем двумерные квадратики квадратики. В статье об этом очень хорошо написано. А вычисления вершин, ребер и плоскостей в общем случае ведутся методами аналитической геометрии. Это может и не мега-сложно (особенно для такой симметричной фигуры как "куб"), но достаточно громоздко. Можно аналогично добавить и пятую и шестую и т.д. оси, получатся, по сути, аналогичные штучки, только посложнее и громозче. Ну а про методика, как представлять куб в статье написана, по моему, хорошо.
Вообще принцип такого расширения фигур на дополнительные измерения используется довольно часто. С кубом нам не приходилось иметь дело, зато на семинарах по мат. анализу много возились с многомерными шарами и пирамидами (препод любил такие фишки)). Смысл такого расширения в том, что какую-то фигуру рассматривают, находят ее особенности, если надо математически параметризуют (задавая значения для x, y, z мы, можно сказать параметризовали куб) и делают так, чтобы четырехмерная фигура отвечала этим особенностям трехмерной фигуры, а при "стирании" четвертой оси переходила в привычную трехмерную фигуру. Это можно назвать математическими играми, хотя они безусловно полезны и имеют большое прикладное значение. Но у тессеракта я его, если честно не вижу.